(a+b+c+d)2\(\ge\frac{8}{3}\)(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

<=>(a+b)²+2(a+b)(c+d)+(c+d)²\(\ge\).....

<=>a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\(\ge\)....

<=>3a²+3b²+3c²+3d²+6(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\(\ge\)8(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

<=> 3a²+3b²+3c²+3d²-2ab -2ac-2bc-2ad-2bd-2cd\(\ge\)0

<=> (a²-2ab+b²)+(a²-ac+c²)+(a²-2ad+d²)+(b²-2bc+c²)+(b²-2bd+d²)+(c²-2cd+d²)>=0

<=> (a-b)²+(a-c)²+(a-d)²+(b-c)²+(b-d)²+(c-d)²>=0 (DPCM)

Dau ''='' xay ra khi a=b=c=d

BĐT\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2+3d^2+6\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\ge8\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2+3d^2-2\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\ge0\) (*)

Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+d^2\ge2cd\)

\(d^2+a^2\ge2da;b^2+d^2\ge2bd;c^2+a^2\ge2ca\)

Cộng theo vế các BĐT trên suy ra \(3a^2+3b^2+3c^2+3d^2\ge2\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\)

Do vậy BĐT (*) đúng hay ta có đpcm.

P/s: EM còn khá dốt BĐT,mong được các anh chị chỉ bảo cho ạ!

Cần cù bù thông minh ^^

\(BDT\Leftrightarrow\frac{1}{9}\left(-3a+b+c+d\right)^2+\frac{2}{9}\left(2b-c-d\right)^2+\frac{2}{3}\left(c-d\right)^2\ge0\)

Hihi mình phân tích hơi nham nhở thông cảm nha :(

Thử cách này xem sao:

BĐT \(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(c-d\right)^2}{3}\ge0\) (đúng)

Vậy ta có đpcm.

Ta có : \(\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(a+b+c+d\right)^2\ge8\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+6\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge8\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ad+d^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(b^2-2bd+d^2\right)+\left(c^2-2cd+d^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(c-d\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Thấy \(a+b+c+d=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-b-c-d\\b=-a-c-d\\c=-a-b-d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab-cd=-b^2-bc-bd-cd=\text{-(b + c) (b + d)=(a+d)(b+d)}\\bc-ad=-ca-c^2-cd-ad=\text{-(a + c) (c + d)=(b+d)(c+d)}\\ca-bd=-a^2-ab-ad-bd=\text{-(a + b) (a + d)}=\left(c+d\right)\left(a+d\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)x=(a+d)(b+d)(c+d)

chắc áp dụng định lý Lagrange và bất đẳng thức AM-GM

Ta có: a+b+c+d=0

\(\Leftrightarrow\) c = -(a+b+c+d)

Nên:

Xét hiệu: ab - cd = ab+d(a+b+d)

\(\Leftrightarrow\) ab - cd = ab+ad+bd+d²

^{\(\Leftrightarrow\)} ab - cd = a(b+d)+d(b+d)

\(\Leftrightarrow\) ab - cd = (b+d)(a+d) ⁽¹⁾

Xét hiệu: bd - ac = bd+a(a+b+d)

\(\Leftrightarrow\) bd - ac = bd+a²+ab+ad

\(\Leftrightarrow\) bd - ac =d(a+b)+a(a+b)

\(\Leftrightarrow\) bd - ac = (a+b)(a+d) ⁽²⁾

Xét hiệu: ad - bc = ad+b(a+b+d)

\(\Leftrightarrow\) ad - bc = ad+ab+b²+bd

\(\Leftrightarrow\) ad - bc = a(b+d)+b(b+d)

\(\Leftrightarrow\)ad - bc = (a+b)(b+d) ⁽³⁾

Từ (1),(2),(3) ta có:

\(\left(ab-cd\right)\left(bd-ac\right)\left(ad-bc\right)\) = (b+d)(a+d)(a+b)(a+d)(a+b)(b+d)

\(\Leftrightarrow\) (ab-cd)(bd-ac)(ad-bc) = (a+b)².(b+d)².(a+d)²

\(\Leftrightarrow\) (ab-cd)(bd-ac)(ad-bc) = [(a+b)(b+d)(a+d)]²

\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{\left(ab-cd\right)\left(bd-ac\right)\left(ad-bc\right)}\) = \(\sqrt{\left[\left(a+b\right)\left(b+d\right)\left(a+d\right)\right]^2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(ab-cd\right)\left(bd-ac\right)\left(ad-bc\right)}\) = |(a+b)(b+d)(a+d)| ⁽⁴⁾

Mà a,b,c,d là các số hữu tỉ

\(\Rightarrow\) |(a+b)(b+d)(a+d)| là số hữu tỉ ⁽⁵⁾

Từ (4) và (5) chứng tỏ \(\sqrt{\left(ab-cd\right)\left(bd-ac\right)\left(ad-bc\right)}\) là số hữu tỉ

a + b + c + d = 0 

=> a = - b - c - d ; b = - a - c - d; c = - a - b - d

+) a = - b- c - d =>  ab = -b² - bc - bd => ab - cd = - b² - bc - bd - cd = -b(b + c) - d(b + c) = -(b +d)(b +c)

+) b = - a - c - d => bc = -ac - c² - cd => bc - ad = -ac - c² - cd - ad = -c(a + c) - d(a+c) = - (c +d)(a+c)

+) c = -a - b - d => ca = -a² - ab - ad => ca - bd = -a² - ab - ad - bd = - (a+b).(a+ d)

=> (ab - cd).(bc - ad).(ca - bd) = - (b +d).(b +c).(c+d)(a+c)(a+b)(a+d) 

Vì a+ b + c + d = 0 => a + d = - (b + c) và b + d = - (a +c); c+d = - (a + b)

=> (ab - cd).(bc - ad).(ca - bd) = (a+ b)². (b +c)². (c +a)²

=> \(\sqrt{\left(ab-cd\right)\left(bc-ad\right)\left(ca-bd\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)^2.\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}=\left|a+b\right|.\left|b+c\right|\left|c+a\right|\)

là số hữu tỉ với a; b; c;d là số hữu tỉ

Tick cho mình tròn 40 với

Bài này xoay quanh hằng đẳng thức sau:    \(x^2+xa+xb+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)\).

Thực vậy, theo giả thiết \(-d=a+b+c\)  nên ta có \(ab-cd=ab+c\left(a+b+c\right)=\left(c+a\right)\left(c+b\right).\)

Tương tự, \(bc-ad=bc+a\left(a+b+c\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right),\)

\(ca-bd=ca+b\left(a+b+c\right)=\left(b+a\right)\left(b+c\right).\)

Do đó \(\sqrt{\left(ab-cd\right)\left(bc-ad\right)\left(ca-bd\right)}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\)

\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)  là một số hữu tỉ.